۱
۱   ۱
۱   ۲   ۱
۱   ۳   ۳   ۱
۱   ۴   ۶   ۴   ۱
۱   ۵  ۱۰  ۱۰   ۵   ۱

شش سطر نخست از مثلث خیام^[۱]

مثلّث خیام، مثلّت پاسکال، مثلّث تارتالیا یا مثلّث خیام-پاسکال به آرایش مثلث‌شکل ضرایب بسط دوجمله‌ای گویند.

مثلث خیام را در برخی منابع به ندرت «مثلث خیام-پاسکال-نیوتن» نیز می‌گویند. این مثلث در زبان‌های گوناگون نام‌های دیگری نیز دارد در زبان انگلیسی «مثلث پاسکال»، ایتالیایی «مثلث تارتالیا» و در زبان چینی «مثلث یانگ هویی» نام گرفته‌است. در آثار متون سانسکریتِ پینگالا ریاضی‌دان هندی نشانه‌هایی از استفاده از این بسط دیده می‌شود. در همان دوران عمر خیام ریاضی‌دان ایرانی ادعای کشف روشی جبری برای به دست آوردن ضرایب بسط دوجمله‌ای می‌کند. کتاب «مشکلات الحساب»، کتابی که اثبات‌های این ادعا در آن آمده هنوز کشف نشده ولی در آثار طوسی تأثیر گرفته از او ضرایب را تا توان ۱۲ می‌توان دید^[۲]. بعد از او در قرن ۱۲ میلادی در آثار یانگ هویی ریاضی‌دان چینی، شکل مثلث به چشم می‌خورد. در قرن ۱۶ میلادی ریاضی‌دان ایتالیایی تارتالیا هم از خود این مثلث را به جا گذاشته و پس از یک قرن پاسکال ریاضی‌دان فرانسوی هم دوره با نیوتون روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد.نام‌گذاری و پیشینه [ویرایش]

توضیح [ویرایش]

مثلث خیام، مثلث پاسکال، مثلث تارتالیا یا مثلث خیام - پاسکال به آرایش مثلثی شکل ضرایب بسط دو جمله ای گفته می شود.

$\binom{n}{k}$

خواص مثلث پاسکال [ویرایش]

برای مطالعه ی خواص جمله های مثلث کافی هست از تعریف استفاده کنیم

$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

$\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}$

$(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+...+\binom{n}{n}b^n$

دنباله‌های ویژه در داخل مثلث پاسکال [ویرایش]

دنباته توان 2:

دنباله توان 2 به صورت زیر می باشد

الگوی جالبی در داخل مثلث پاسکال برای محاسبه توان 2 وجود دارد:

جمع عناصر هر سطر به ترتیب توان 2 ایجاد میکند با توجه به رابطه (3.3)اگر

اگر a=1وb=-1به رابطه ی زیر میرسیم

در رابطه اخیر اگر n=0قرارداد 1=00 با مشتق گیری از طرفین از طرفین رابطه ی (3.3)برای a=xوb=1داریم

حال اگر x=1یا x=-1باشد

با مشتق گرفتن از مراتب بالاتر از رابطه ی (4.3)به روابط دیگری دست می یابیم با تعویض عمل مشتق گیری با روابط دیگری به دست می اید.

##دنباله ی توان های عدد 11:

در حالت کلی اگر جمله های سطر nام مثلث را از راست به چپ از دیدگاه تعداد یکان دهگان ...نگاهکنیم وبدین طریق عدد Nnرابسازیم طبق اتحاد دو جمله ای خیام عدد Nnتوانی از 11 است

مثلا:

در مورد سطر 7ام دقت کنید .الگوی زیر رعایت شده.

دنبالهٔ اعداد مصور [ویرایش]

در مثلث پاسکال قطر از اعداد طبیعی، قطر 2 از اعداد مثلثی وقطر3 از اعداد 4وجهی تشکیل شده اند.

با نگاه به قطرهای مثلث ملاحظه می شود که هر عدد مثلثی مجموع چند عدد طبیعی وهر عدد 4 وجهی مجموع چند عدد مثلثی است.به طور کلی می توان گفت که قطر kام از اعداد مصور kبعدی تشکیل شده اند که به صورت (c(n,kمی باشد.در ضمن داریم:

دنبالهٔ فیبوناچی [ویرایش]

اگر قطرها را با شیب بیشتر انتخاب کنیم.داریم:

مجموعه اعداد روی قطر ها دنباله ی :

   ...و13و8و5و3و1و1

تشکیل می دهد.در این دنباله جمله اول ودوم 1 است بقیه جملات جمع دو جمله قبلی اش می شوند

F1=F2=1    Fn+2=Fn+1+Fn

اثبات این خاصیت به وسیله مثلث به راحتی قابل مشاهده است. اگرشیب قطر های فیبوناچی را بیشتر کنیم.به تعمیمی از این دنباله دست خواهیم یافت

اگر ان را با Gn نمایش دهیم داریم

 G1=G2=G3=1  Gn+2=Gn+1+Gn-1

تعمیم های مختلف از دنباله فیبوناچی داریم.

دنبالهٔ (c(2n,n [ویرایش]

دنباله واقع بر عمود منصف مثلث را به صورت زیر در نظر می گیریم....و252و70و20و6و2و1

تعمیم دنباله بالا به صورت زیر است

به عبارت دیگر مجموع مربعات جمله های سطر nام برابر است با رآس تحتانی یک لوزی که این لوزی که این سطر یکی از قطرهای ان می باشد.

ویژگی هندسی فانگ [ویرایش]

ایا دو عدددر مثلث پاسکال می توان یافت که مجموع یا تفاضلشان مربع کامل باشد؟ عناصر واقع در قطر 3، اعداد مثلثی هستندو نیز مجموع 2 عدد مثلثی متوالی یک مربع کامل است.اگر Tnنشان دهنده nامین عدد مثلثی باشد.داریم:

Tn+Tn+1=n2

واین نتیجه می دهد.

برای تفریق داریم

ویژگی چوب چوگان [ویرایش]

تساوی زیر را در نظر بگیرید.

اگر هر کدام از عناصر دو طرف تساوی را به صورت نقاط هندسی در نظر بگیرید

اگر طول چوب چوگان را kدر نظر بگیریم(رابطه بالا را تعمیم دهید)

ضرب صلیبی [ویرایش]

در اینجا مستطیل هایی را به صورت قائم الزاویه و افقی در داخل مثلث خیام در نظر می گیریم.رئوس این مستطیل ها که بر روی درایه های این مثلث واقع شده اند در اینجا رابطه ای بر حسب درایه های واقع بر رئوس این مستطیل به دست می اوریم. نکته جالب این است که با لغزاندن مستطیل به نحوی که نقطه ی cدر طول قطر (در امتداد پیکان)جا به جا شود

 همواره نسبت (a*d)/(c*b)یک مقدار ثابت خواهد بوذ

ستارهٔ داود [ویرایش]

در خاصیت ضرب صلیبی اگر به جای مسطتیل ها یک ستاره به صورت زیر در نظر بگیریم به قسمتی که رئوس ان بر درایه های مثلث خیام قرار گیرند.به تساوی زیر میرسیم.

       
در مرکز این ستاره عنصر

قرار دارد

مثلث خیام–پاسکال و مثلث سرپینسکی [ویرایش]

حال با این توضیح مختصر در مورد برخال‌ها برمی‌گردیم به «مثلث خیام – پاسکال». در مورد این مثلث زیاد شنیده‌ایم از جمله در مورد کاربرد فراوانش در نظریه‌ی اعداد و ترکیبیات. حال می‌خواهم یکبرخال ساده را در این مثلث به شما نشان دهم. موضوعی که باعث می‌شود این مثلث جایی را نیز در دنیای برخال‌ها یعنی سیستم‌های دینامیکی پیدا کند. مسأله خیلی ساده است، تمام اعداد زوج را در «مثلث خیام – پاسکال» پاک کنید، آن‌چه باقی می‌ماند برخالی معروف است با نام «مثلث سرپینسکی»: